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数据结构——树状数组小结
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date: 2022-05-26T16:37:00+08:00
description: 适用场景树状数组是一种适用于多次单点修改统计区间和问题的数据结构。基本思想Binary Indexed Tree 求和的基本思想在于，给定需要求和的位置 i ，例如 13 ，我们可以利用其二进制表示法来进行分段（或者说分层）求和：13 = 2^3 + 2^2 + 2^0，则prefixSum(13) = RANGE(1, 8) + RANGE(9, 12) + RANGE(13, 13) （注意此处的RANGE(x, y)表示数组中第x个位置到第y个位置的所有数字求和）。如下面例子中所示：arr = [1, 7, 3, 0, 5, 8, 3, 2, 6, 2, 1, 1, 4, 5] prefixSum(13) = RANGE(1, 8) + RANGE(9, 12) + RANGE(13, 13) = 29 + 10 + 4 = 43那么只要我们提前计算好这些RANGE(x,y)，便可以对相应的序列进行快速求和。下面是构造树状数组的方法（填坑法）：图中最上面是原数组，中间代表了树状数组各元素的意义，即RANGE(x,y)，而最下面便是原数组对应的树状数组。利用树状数组求区间和利用树状数组，我们可以发现：prefixSum(13) = prefixSum(0b00001101) = BIT[13] + BIT[12] + BIT[8] = BIT[0b00001101] + BIT[0b00001100] + BIT[0b00001000]其中BIT即树状数组，而从二进制位我们可以发现一个很有意思的结论，即我们实际上是在将下标13每次减少一个最低位的1所在位对应的数字，直到小于1为止，将这些下标对应的元素累加起来便是RANGE(1,13)的和。总结起来就像这样：这个结构可以抽象成一颗树一样：寻找父节点的操作便是lowbit ，也即上述所发现的结论，假设当前节点下标为 x ，则 lowbit(x) = x & -x。这样，我们就可以通过树状数组快速求区间和了。更新数组中的元素而关于如何进行单点修改，我们以update(5,2)为例：我们可以发现，单点修改的过程恰好与求区间和的过程相反，在此处，我们需要从5开始，对5进行lowbit的增加，直至超出数组范围，对所经过的下标对应的元素均进行累加，即可完成一次单点修改。树状数组的建立第一种方法很简单，遍历数组中的每一个元素，对其使用update(i + 1, elem)即可，这是一种O(nlog n)时间复杂度的构造方法第二种方法是一种时间复杂度O(n)的方法，其步骤如下(数组下标从0开始)：给定一个长度为n的输入数组list。初始化长度为n + 1的Binary Indexed Tree数组bit，并将list中的数字对应地放在bit[1]到bit[n]的各个位置。对于1到n的每一个i，进行如下操作：令j = i + (i & -i)，若j < n + 1，则bit[j] = bit[j] + bit[i]代码实现class BinaryIndexTree { private: int *tr; inline int lowbit(int x) { return x & -x; } public: BinaryIndexTree(int arr[], int n) { tr = new int[n + 1]; for (int i = 0; i < n; ++i) tr[i + 1] = arr[i]; for (int i = 1; i < n + 1; ++i) { int j = lowbit(i); if (j < n + 1) tr[j] += tr[i]; } } void add(int x, int v) { for(int i = x; i < n + 1; i += lowbit(i)) tr[i] += v; } int query(int x) { int ans = 0; for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i]; return ans; } }参考文章树状数组（Binary Indexed Tree），看这一篇就够了